لكي نستطيع القيام بضرب وقسمة العبارات النسبية، علينا أولاً معرفة المقصود بالعبارات النسبية، فالعبارة النسبية هي التي تحتوي على بسط ومقام، وهناك نوعين من العبارة النسبية، نوع يخص الأعداد ونوع آخر يخص المعادلات. وهناك ما يسمّى بالعامل المشترك الأكبر وهو اكبر قاسم للعددين بدون باقي، ولكي نحصل عليه يجب أن يتم تحليل كل عدد إلى عوامله الاولية، ثم يتم تحديد ما بينهما من عوامل مشتركة.


كيف يتم تبسيط العبارات النسبية :
يتم ذلك من خلال قسمة كل من البسط والمقام على العامل المشترك الاكبر لهما، وهي نفس الطريقة التي يتم استخدامها لتبسيط الكسور.


مثال (1) : بسّط العبارة التالية.


الحل :
اولاً :
نقوم بتحليل العبارة الاولى، نبحث عن عددين إذا ضربناهم في بعضهم يعطينا 3، وإذا جمعناهم أو طرحناهم يعطينا 4، وستكون الإجابة هي 3 و 1.





ثانياً :
في العبارة النسبية الثانية، لا نستطيع تحليلها بطريقة المقص، وذلك لأحتوائها على حدين فقط، بل يتم حلها من خلال قانون (x2-a2) =(x-a)(x+a) ، حيث يتم تطبيقه على المسألة .





ثالثاً :
تبدأ عملية اختصار البسط مع المقام، وبهذا يكون قد انتهى التبسيط بالشكل التالي





مثال (2) : في هذه المسألة نريد إيجاد قيم X التي تجعل العبارة غير معرفة.







الحل :
اولاً :
لكي نجعل العبارة غير معرفة، يجب أن نساوي المقام بالصفر، ثم بعد ذلك نحسب قيم X، ولكن قبل ذلك يجب أن يتم تحليل المقام، فنستخدم طريقة المقص ونبحث عن عددين إذا تم ضربهما نحصل على رقم 8، أما إذا تم جمعهما أو طرحهما يكون الناتج 6، فيصبح العددان هما 4 و 2.




ثانياً :
يتم التعويض في المقام ومساواته بالصفر، ثم توزيع الصفر، وإيجاد القيم الصحيحة لـ X، ويتضح أن القيم الصحيحة هي -2 و -4 و 5.




الخطوة الاخيرة للمسألة
مثال (3) : تبسيط العبارات النسبية من خلال إخراج -1 عامل مشترك.




المسألة الثالثة
الحل :
اولا :
يتم تبسيط العبارة التي تحتوي على تربيع، ونلاحظ أنه لا يمكن القيام بطريقة المقص لإحتوائها على حدين فقط، لذلك نقوم بإخراج العامل المشترك وهو w، كما في الصورة.



استخراج w عامل مشترك
ثانياً :
نلاحظ أن هناك حد في البسط وحد في المقام متشابهيين، ولكنهما مختلفين في الأشارات، ولجعلهم متشابهين يتم إخراج (-1) عامل مشترك في البسط، فتصبح المسألة كما في الصورة




ثالثاً :
يتم إختصار الحدود المتشابهة مع بعضها البعض، والوصول إلى أبسط ناتج.





مثال (4) : بسّط العبارة التي في الصورة .






اولاً:
نلاحظ أن الحد الموجود في البسط له قانون خاص به، حيث X3-y3 يساوي (x-y) (x2+xy+y2)، فنقوم بالتعويض بذلك في المسألة كما في الصورة.



ثانياً :
نجد أن الحد الموجود في المقام، متشابه مع الحد الذي في البسط مع إختلاف الإشارة – كما حدث في المسألة السابقة- لذلك يتم تحديد أي الحدين سنقوم بتغيير إشارته، ثم إستخراج -1 كعامل مشترك، وإختصار الحدين المتشابهين، وإستخراج الناتج كما يلى.





مثال (5) : بسّط العبارة النسبية التالية





الحل :
اولا :
يتم تحليل العبارة الاولى (x2-6x-16) وذلك عن طريق المقص، حيث يتم إيجاد عددين إذا تم ضربهم يكون الناتج -16، وإذا تم جمعهم أو طرحهم يكون الناتج -6، فيكون العددان هما -8 و2 ، ثم يتم التعويض في العبارة كما يلي.





ثانياً :
يتم تحليل العبارات (X2-16x+64) و (X2+5x+6) بنفس طريقة المقص كما حدث في العبارة السابقة، وإيجاد الأرقام والتعويض عنها، ثم القيام بأختصار العبارات المتشابهة في البسط مع المقام لكي يتم الحصول على النتيجة النهائية.





مثال (6) : قم بتبسيط هذه العبارة .




المسألة السادسة
الحل :
اولاً :
يتم تحويل القسمة إلى ضرب، وذلك من خلال تحويل البسط إلى المقام، والمقام إلى البسط في الحد الثاني .


ثانياً :
يتم البدء بالعبارة الاولى وتحليلها، ويكون تحليلها عن طريق قانون (X2-a2)=(x-a) (x+a)، ثم التعويض في المسألة.


ثالثاً :
في العبارة (y2-3y-18) یتم تحلیلها بالبحث عن عددين حاصل ضربهم يكون -18، وحاصل جمعهم أو طرحهم هو -3، فيصبح العددان هما -6 و 3، ثم يتم التعويض في المسألة.


رابعاً :
يتم إيجاد العامل المشترك في العبارة (12y+36) ، و تحليل العبارة (y2-3y-18) كما حدث في السابق، ثم يتم التعويض في المسألة و إختصار البسط والمقام مع بعضهما البعض للحصول على الناتج النهائي كما في الصورة.